L’incrocio tra matematica e intelligenza artificiale: una nuova era nella risoluzione dei problemi - METEO GIORNALE: primo sito meteo italiano di Previsioni Meteo
La Matematica incontra l’Apprendimento Automatico: la conferenza del 2023 a Caltech
La conferenza “Mathematics and Machine Learning 2023” presso il California Institute of Technology (Caltech) mette in evidenza l’integrazione sempre più crescente dell’apprendimento automatico, o machine learning, nel campo della matematica. Questo incontro offre nuove soluzioni a problemi complessi e promuove lo sviluppo di algoritmi avanzati.
Tradizionalmente, i matematici annotano le loro formule su carta e cercano soluzioni che definiscono pure ed eleganti. Negli anni ’70, hanno iniziato con riluttanza a utilizzare i computer per assistere nella risoluzione di alcuni problemi. Decenni dopo, i computer sono spesso impiegati per risolvere gli enigmi matematici più difficili. Ora, in modo simile, alcuni matematici si stanno rivolgendo agli strumenti di machine learning per aiutarli nelle loro ricerche numeriche.
L’adozione del machine learning nella matematica
“I matematici stanno iniziando ad abbracciare il machine learning”, afferma Sergei Gukov, professore di Fisica Teorica e Matematica presso Caltech, che ha organizzato la conferenza. “Ci sono alcuni matematici che potrebbero ancora essere scettici sull’uso di questi strumenti. Gli strumenti sono birichini e non così puri come l’uso di carta e matita, ma funzionano.”
Machine Learning: una nuova era nella risoluzione dei problemi matematici
Il machine learning è un sottocampo dell’intelligenza artificiale (AI) in cui un programma informatico viene addestrato su grandi set di dati e impara a trovare nuovi schemi e fare previsioni. La conferenza, la prima organizzata dal nuovo Richard N. Merkin Center for Pure and Applied Mathematics, aiuterà a colmare il divario tra gli sviluppatori di strumenti di machine learning (gli scienziati dei dati) e i matematici. L’obiettivo è discutere i modi in cui i due campi possono integrarsi a vicenda.
Matematica e Machine Learning: una strada a doppio senso
“È una strada a doppio senso”, dice Gukov, direttore del nuovo Merkin Center, istituito dal fiduciario di Caltech Richard Merkin. ”I matematici possono aiutare a ideare nuovi algoritmi intelligenti per strumenti di machine learning come quelli utilizzati in programmi di AI generativa come ChatGPT, mentre il machine learning può aiutarci a risolvere problemi matematici difficili.”
Yi Ni, professore di matematica presso Caltech, prevede di partecipare alla conferenza, sebbene affermi di non utilizzare il machine learning nella sua ricerca, che coinvolge il campo della topologia e, in particolare, lo studio dei nodi matematici in dimensioni inferiori. “Alcuni matematici sono più familiari con questi strumenti avanzati rispetto ad altri”, dice Ni. “È necessario conoscere qualcuno che sia un esperto di machine learning e disposto ad aiutare. Alla fine, penso che l’AI per la matematica diventerà un sottocampo della matematica.”
L’ipotesi di Riemann e il Machine Learning
Un problema difficile che potrebbe essere risolto con l’aiuto del machine learning, secondo Gukov, è noto come l’ipotesi di Riemann. Nominato in onore del matematico del XIX secolo Bernhard Riemann, questo problema è uno dei sette Problemi del Millennio selezionati dall’Istituto di Matematica Clay; un premio di 1 milione di dollari sarà assegnato per la soluzione di ciascun problema.
L’ipotesi di Riemann si concentra su una formula nota come funzione zeta di Riemann, che racchiude informazioni sui numeri primi. Se dimostrata vera, l’ipotesi fornirebbe una nuova comprensione di come i numeri primi sono distribuiti. Gli strumenti di machine learning potrebbero aiutare a risolvere il problema fornendo un nuovo modo per eseguire più iterazioni possibili del problema.
Matematici e Machine Learning: una relazione sinergica
“Gli strumenti di machine learning sono molto bravi a riconoscere schemi e analizzare problemi molto complessi”, afferma Gukov.
Ni concorda sul fatto che il machine learning può fungere da assistente utile. “Le soluzioni di machine learning potrebbero non essere così belle, ma possono trovare nuove connessioni”, dice. “Ma hai ancora bisogno di un matematico per trasformare le domande in qualcosa che i computer possono risolvere.”
Teoria dei nodi e Machine Learning
Gukov ha utilizzato il machine learning per districare problemi nella teoria dei nodi. La teoria dei nodi è lo studio di nodi astratti, simili ai nodi che si potrebbero trovare su una stringa di scarpe, ma le estremità delle stringhe sono chiuse in anelli. Questi nodi matematici possono essere intrecciati in vari modi e i matematici come Gukov vogliono comprendere le loro strutture e come si relazionano tra loro. Il lavoro ha relazioni con altri campi della matematica come la teoria della rappresentazione e l’algebra quantistica, e persino la fisica quantistica.
In particolare, Gukov e i suoi colleghi stanno lavorando per risolvere quella che viene chiamata la congettura di Poincaré liscia in quattro dimensioni. La congettura di Poincaré originale, anch’essa un Problema del Millennio, è stata proposta dal matematico Henri Poincaré all’inizio del XX secolo. È stata infine risolta tra il 2002 e il 2003 da Grigori Perelman (che ha famosamente rifiutato il suo premio di 1 milione di dollari). Il problema coinvolge il confronto tra sfere e certi tipi di varietà che assomigliano a sfere; le varietà sono forme che sono proiezioni di oggetti di dimensioni superiori su dimensioni inferiori. Gukov dice che il problema è come chiedere: “Gli oggetti che sembrano sfere sono davvero sfere?”
La congettura di Poincaré liscia in quattro dimensioni sostiene che, in quattro dimensioni, tutte le varietà che sembrano sfere sono effettivamente sfere. Nel tentativo di risolvere questa congettura, Gukov e il suo team sviluppano un approccio di machine learning per valutare i cosiddetti nodi a nastro.
“Il nostro cervello non può gestire quattro dimensioni, quindi impacchettiamo le forme in nodi”, dice Gukov. “Un nastro è dove la stringa in un nodo attraversa una parte diversa della stringa in tre dimensioni ma non attraversa nulla in quattro dimensioni. Il machine learning ci consente di analizzare la ‘nastroicità’ dei nodi, una proprietà sì-o-no dei nodi che ha applicazioni alla congettura di Poincaré liscia.”
L’interazione tra matematica e algoritmi di machine learning
Dall’altro lato, la matematica può aiutare nello sviluppo di algoritmi di machine learning, spiega Gukov. Un approccio matematico, dice, può portare idee fresche allo sviluppo degli algoritmi dietro gli strumenti di AI. Cita Peter Shor come esempio di un matematico che ha portato intuizioni ai problemi di informatica. Shor, laureato a Caltech con una laurea in matematica nel 1981, ha famosamente ideato quello che è noto come l’algoritmo di Shor, un insieme di regole che potrebbero consentire ai computer quantistici del futuro di fattorizzare interi più velocemente dei computer tipici, rompendo così i codici di crittografia digitale.
Gli algoritmi di machine learning di oggi sono addestrati su grandi set di dati. Lavorano attraverso montagne di dati su linguaggio, immagini e altro per riconoscere schemi e trovare nuove connessioni. Tuttavia, gli scienziati dei dati non sanno sempre come i programmi raggiungono le loro conclusioni. I meccanismi interni sono nascosti in una cosiddetta “scatola nera”. Un approccio matematico allo sviluppo degli algoritmi rivelerebbe cosa sta succedendo “sotto il cofano”, come dice Gukov, portando a una comprensione più profonda di come funzionano gli algoritmi e quindi possono essere migliorati.
“La matematica”, afferma Gukov, “è terreno fertile per nuove idee.”
