Il problema matematico che ha confuso gli scienziati per un secolo è stato risolto
La teoria di Ramsey e il problema r(4,t): una svolta nella matematica
La teoria di Ramsey è un campo della matematica che si occupa di trovare ordine all’interno di strutture apparentemente caotiche. In particolare, essa studia le proprietà dei grafi, ovvero insiemi di punti connessi da linee, e cerca di determinare sotto quali condizioni è possibile trovare all’interno di questi grafi dei sottogruppi ordinati, detti “cliques”.
• La teoria di Ramsey e il problema r(4,t): una svolta nella matematica
• Il problema di Ramsey: una sfida matematica
• La lotta per risolvere un buon problema
Uno dei problemi più noti e sfuggenti della teoria di Ramsey è il problema r(4,t), che ha resistito agli sforzi dei matematici per quasi un secolo. Tuttavia, recentemente, i ricercatori Jacques Verstraete e Sam Mattheus dell’Università della California a San Diego hanno compiuto un passo avanti significativo nella risoluzione di questo enigma matematico.
Il problema di Ramsey: una sfida matematica
Il problema r(4,t) si riferisce alla ricerca del numero minimo di punti necessari in un grafo affinché si possa garantire l’esistenza di una clique di quattro punti tutti connessi tra loro o di un insieme di t punti tutti non connessi. La soluzione a questo problema non è solo una questione di curiosità matematica, ma ha implicazioni in diversi campi, dalla teoria dei giochi alla scienza dei meteo.
Il problema r(3,3), noto anche come “il teorema degli amici e degli sconosciuti”, è forse l’esempio più famoso di problema di Ramsey. Esso afferma che in un gruppo di sei persone, si troveranno sempre almeno tre persone che si conoscono tutte tra loro o tre persone che non si conoscono affatto. La soluzione a r(3,3) è sei.
Ma cosa accade quando si aumenta il numero di punti o si varia il numero di punti non connessi? La soluzione a r(4,4) è stata trovata essere 18, ma per r(5,5) la soluzione rimane ancora sconosciuta.
La lotta per risolvere un buon problema
La difficoltà nel risolvere i problemi di Ramsey risiede nella vastità delle possibili configurazioni di grafi da considerare. Ad esempio, se si sospetta che la soluzione a r(5,5) sia compresa tra 40 e 50, si dovrebbero esaminare più di 10 234 grafi per trovare la risposta esatta.
Per questo motivo, i matematici si sono concentrati sulla ricerca di stime che possano avvicinarsi il più possibile alla soluzione esatta. Verstraete e Mattheus hanno utilizzato i grafi pseudocasuali per restringere l’intervallo di stime possibili, avvicinandosi così alla verità.
La loro ricerca ha portato alla soluzione del problema r(3,t) nel 2019, ma il problema r(4,t) rimaneva irrisolto. Tuttavia, combinando diverse aree della matematica, come la geometria finita, l’algebra e la probabilità, Verstraete e Mattheus sono riusciti a costruire un grafo pseudocasuale che ha permesso loro di trovare una soluzione approssimativa a r(4,t).
La loro scoperta suggerisce che il numero di persone necessarie per garantire una clique di quattro persone tutte conosciute tra loro o un insieme di t persone tutte sconosciute è vicino a una funzione cubica di t, ovvero t 3 . Questa stima, sebbene non sia la risposta esatta, si avvicina molto alla soluzione definitiva.
I risultati di questa ricerca sono attualmente in fase di revisione presso gli Annals of Mathematics .
La perseveranza e la determinazione sono state fondamentali per il successo di Verstraete e Mattheus. Come sottolinea Verstraete, un buon problema si difende e non si rivela facilmente. Ma il loro impegno è stato premiato, non solo con la soluzione a un problema matematico di lunga data, ma anche con il riconoscimento della comunità scientifica e un premio in denaro promesso da Erdös per chi avesse risolto il problema.
La ricerca di Verstraete e Mattheus dimostra che, anche nei campi più astratti della scienza, come la teoria dei grafi e la matematica, la determinazione e l’innovazione possono portare a scoperte significative che ampliano la nostra comprensione del mondo e dei suoi fenomeni, inclusi quelli legati al meteo.