Studenti risolvono un mistero matematico quando i cerchi si scontrano

La scoperta matematica di due studenti

Due studenti dell’Università del Colorado a Boulder, Summer Haag e Clyde Kertzer, hanno fatto notizia nel mondo della matematica grazie a un progetto di ricerca estivo. Durante l’anno accademico 2022-2023, entrambi erano alla ricerca di opportunità di ricerca estiva in matematica, la loro area di studio. La loro attenzione è stata catturata da un’esperienza di ricerca (REU – Research Experience for Undergrads) con Katherine (Kate) Stange, professore associato nel Dipartimento di Matematica, e James Rickards, ricercatore post-dottorato nello stesso dipartimento, che si occupava di teoria dei numeri, un argomento di grande interesse per entrambi.

• La scoperta matematica di due studenti

• Un nuovo approccio ai frattali

• La confutazione di una congettura

• Il lato giocoso della matematica

“Sapevo già durante la laurea triennale che volevo dedicarmi alla teoria dei numeri,” afferma Haag. “Quando ho visto che Kate e James stavano organizzando un REU sulla teoria dei numeri, ho pensato: ‘Quello! Voglio partecipare a quello!’”

“Ho seguito diversi corsi di teoria dei numeri qui alla CU che mi sono piaciuti molto,” dice Kertzer, che ha ritirato le sue candidature ad altri REU quando è stato accettato in quello con Stange e Rickards. “Ero davvero entusiasta.”

Un nuovo approccio ai frattali

L’REU avrebbe esplorato un ramo della teoria dei numeri chiamato “imballaggi circolari di Apollonio”, che sono frattali, o modelli infiniti, composti da cerchi infiniti che si toccano appena ma non si sovrappongono. Né Haag né Kertzer avevano molta esperienza con gli imballaggi circolari.

“Avevo già visto le forme quadratiche e le inversioni di Mobius, ma non le avevo mai viste applicate agli imballaggi circolari,” dice Haag. “Ero entusiasta di imparare queste cose.”

“Sono andato in biblioteca e ho preso in prestito l’unico libro che ho trovato sugli imballaggi circolari e ho iniziato a leggerlo,” dice Kertzer.

Nelle prime settimane dell’REU, Stange e Rickards hanno fornito a Haag e Kertzer le informazioni di base di cui avevano bisogno per il progetto e li hanno istruiti su come utilizzare il codice sviluppato da Rickards per raccogliere dati sugli imballaggi circolari. Dopo di che, hanno dato a Haag e Kertzer la libertà di esplorare.

“Abbiamo iniziato con un’idea di progetto divertente che avrebbe dato agli studenti la possibilità di sperimentare la ricerca raccogliendo dati, cercando schemi e dimostrandoli,” dice Stange. “Non avevamo un obiettivo molto definito.”

“Avevamo una lunga lista di possibili problemi da esplorare,” aggiunge Rickards. “Non c’era una vera e propria meta finale in vista.”

Tuttavia, ciò è cambiato quando le esplorazioni di Haag e Kertzer hanno prodotto dati che mettevano in discussione una congettura matematica ben nota.

La confutazione di una congettura

La congettura locale-globale, ampiamente accettata per la maggior parte di due decenni, prevede le curvature dei cerchi all’interno di un imballaggio circolare. Secondo questa congettura, se un ricercatore conosce le curvature di alcuni cerchi in un imballaggio (i cerchi “locali”), può poi prevedere le curvature dei cerchi nel resto dell’imballaggio (i cerchi “globali”).

Volte dopo volte, le prove sembravano supportare la congettura locale-globale, al punto che praticamente tutti quelli che la conoscevano la ritenevano vera.

“Anche se non era stata dimostrata, era quasi garantito che fosse vera,” dice Haag.

Ma poi, mentre inserivano i numeri nel codice di Rickards, Haag e Kertzer decisero di fare qualcosa che non era ancora stato fatto. Invece di inserire un numero nel codice, ne inserirono due e osservarono gli imballaggi risultanti.

È allora che le cose sono diventate interessanti. I numeri che, secondo la congettura locale-globale, avrebbero dovuto apparire insieme negli stessi imballaggi, non lo facevano.

Stange paragona la situazione a una prigione. Era come se i numeri che dovevano essere rinchiusi avessero scavato un tunnel quando nessuno stava guardando e fossero fuggiti.

Haag, Kertzer, Stange e Rickards sapevano tutti cosa significavano questi dati per la congettura locale-globale, motivo per cui la reazione immediata di Rickards è stata quella di controllare il suo codice alla ricerca di errori. Ma non ce n’erano. Il codice era corretto. La congettura locale-globale, invece, non lo era.

Nel corso dei giorni successivi, Stange e Rickards hanno messo insieme una dimostrazione dei loro risultati, lavorando così velocemente, con tanta energia e precisione che Haag e Kertzer non hanno potuto fare a meno di sentirsi ispirati.

“È stato davvero impressionante,” dice Kertzer. “È il punto a cui vogliamo arrivare come matematici.”

I quattro hanno pubblicato un articolo sul server di preprint arXiv con un titolo inequivocabile quanto il suo contenuto è sorprendente: “La congettura locale-globale per gli imballaggi circolari di Apollonio è falsa.”

Non male per un progetto di ricerca estivo.

Il lato giocoso della matematica

Ma ciò che Haag e Kertzer hanno trovato ancora più gratificante che confutare una grande congettura in sospeso è stata l’esperienza diretta del lato creativo della ricerca matematica. Non si trattava solo di formule e regole. Era intuizione, esplorazione, gioco.

“Un consiglio che Kate mi ha dato mi rimarrà impresso per un po’,” ricorda Kertzer. “‘Se non sei sicuro, segui il tuo istinto.’”

La ricerca matematica, spiega Stange, “spesso sembra esplorare una giungla. Non sei sicuro di cosa troverai, ma la creatività sta nel decidere quale foglia girare, quale sentiero prendere, quali domande stai cercando di rispondere e come andrai a rispondere. Alcune delle intuizioni più profonde in matematica provengono da salti creativi che collegano idee apparentemente non collegate.”

Fortunatamente per Haag e Kertzer, c’è ancora molta giungla da esplorare.

“Alcuni dei miei studenti sono così confusi dal fatto che voglio fare ricerca in matematica,” dice Haag. “Dicono: ‘Non è che la matematica è già finita? Quante domande possono essere ancora irrisolte in matematica?’”

Haag sorride quando risponde: “Così tante.”